\section{二次型及其矩阵表示}

\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 本章我们关心 (一固定的数域$P$上的) $n$元二次型，或者说，$n$元二次齐次多项式，
      即形如$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$的多项式。
      按照多项式的约定，$x_i, x_j$可交换，且$x_ix_j$ ($i\leqslant j$) 这些单项式线性无关。
    \item 实际中，我们常常需要对二次型做非退化的线性替换，即引入一组新的符号如$y_1,\cdots,y_n$并令
      每个$x_i$ ($i=1,\cdots,n$) 为$y_1,\cdots,y_n$的一个线性组合，
      然后代入原二次型得到一个新的二次型。这样的线性替换可用矩阵的形式表示为$X=CY$, 
      其中$X=(x_1,\cdots,x_n)^{\rT}, Y=(y_1,\cdots,y_n)^{\rT}$, $C$是一 (数域$P$上的) 方阵。
      $C$非退化 (即可逆) 时称此线性替换非退化。
\item 为了应用矩阵的工具，我们用矩阵把二次型表示出来。
  容易发现$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}=X^{\rT}AX$, 其中$A=(a_{ij})$.
  不过由于$x_i, x_j$的交换性，不同的$A$可能得到同一个二次型。
  为了理论的良好发展，我们可以重写该二次型从而要求$a_{ij}=a_{ji}$ ($i\neq j$时平分$x_ix_j$和$x_jx_i$的系数之和即可),
  此时$A$为对称矩阵，称为二次型$f$的矩阵。
  进而可得$n$元二次型和$n$阶对称矩阵的一一对应：$f$对应于其矩阵$A$, 
  反过来，对称矩阵$A$对应于二次型$X^{\rT}AX$.
\item 有了这样的一一对应后，我们可以把二次型的一些概念和结论搬到对称矩阵上，反过来亦然。
\item 二次型$X^{\rT}AX$ (其中$A$对称) 经非退化的线性替换$X=CY$ 变为二次型$Y^{\rT} (C^{\rT}AC) Y$.
  新二次型的矩阵正是$C^{\rT}AC$. 由此我们引入方阵上的合同关系、合同变换的概念。
  新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。
  二次型上的非退化的线性替换这个操作对应于对称矩阵上合同变换这个操作。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{二次型的应用场景}

  \pause
在平面解析几何中，为了便于研究如下方程
\begin{equation}\tag{1}
a x^{2}+2 b x y+c y^{2}=d.
\end{equation}
定义的二次曲线的几何性质，
\pause
我们总可以选择适当的角度 $\theta$, 作转轴
\begin{equation}\tag{2}
  \left\{\begin{array}{l}
        x=x^{\prime} \cos \theta-y^{\prime} \sin \theta \\
        y=x^{\prime} \sin \theta+y^{\prime} \cos \theta
  \end{array}\right.
\end{equation}
把方程 (1) 化成\emph{标准方程}，即形如$a'{x'}^2+b'{y'}^2=d$. 
(等同新坐标系与旧坐标系时，从坐标的角度看，点$(x,y)$顺时针旋转$\theta$角度变成了点$(x',y')$.)

\pause
\begin{example}
  考虑$7x^2-6\sqrt{3}xy+13y^2=16$定义的平面曲线$C$. 
  \pause
  令$\theta=\frac{\pi}{6}$, 
  \[
    \begin{cases}
      x=\frac{\sqrt{3}}{2}x' -\frac{1}{2} y'\\
      y=\frac{1}{2} x'+\frac{\sqrt{3}}{2} y'.
    \end{cases}
  \]
  \pause
  代入$C$的方程可得$\frac{{x'}^2}{4}+{y'}^2=1.$ 
  %\pause
  %所以曲线$C\colon 7x^2-6\sqrt{3}xy+13y^2=16$顺时针旋转$\frac{\pi}{6}$后
  %变成了曲线$C'\colon \frac{x^2}{4}+y^2=1$.
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}{}
  上例的几何图像如下：
\[
  \begin{tikzpicture}
    \draw[->,blue] (-5,0)--(-1,0) node[below] {$x$}; % x axis
    \draw[->,blue] (-3,-1.3)--(-3,1.3) node[left] {$y$}; % y axis
    \draw[thick, name path=E] (-3,0) ellipse [x radius=1.5cm, y radius=1cm, rotate=30];
    \node at (-1.8, 1.3) {$C$};
    \draw[name path=l, rotate around={30:(-3,0)}] (-5,0)--(-1,0);
    \draw[rotate around={30:(-3,0)}] (-3,-1.3)--(-3,1.3);
    \pause
    \coordinate (A) at (1,0);
    \coordinate (B) at (-3,0);
    \path [name intersections={of=l and E}];
    \coordinate (C) at (intersection-1);
    \pic [draw=green!50!black, fill=green!20, angle radius=4mm,
    "$\theta$",angle eccentricity=1.5] {angle = A--B--C};
    \pause
    \draw [->, thick] (-0.5,0) -- (0,0) node[above] {逆时针} node[below] {转轴$\theta$} -- (0.5,0);
    \pause
    \draw[->,blue] (1,0)--(5,0) node[below] {$x'$}; % x axis
    \draw[->,blue] (3,-1.3)--(3,1.3) node[left] {$y'$}; % y axis
    \draw[thick] (3,0) ellipse [x radius=1.5cm, y radius=1cm];   
    \node at (3.8,1.3) {$C'$};
  \end{tikzpicture}
\]

\onslide<+->{%pause 
在二次曲面的研究中也有类似的情况（我们后面会分类三维空间中的二次曲面）。
}%pause

~%留出空行

\onslide<+->{%pause
(1) 的左端是一个二次齐次多项式。 从代数的观点看， 所谓化标准方程就是用变量的线性替换 (2) 化简一个二次齐次多项式，使它\emph{只含有平方项}。二次齐次多项式不但在几何中出现， 而且在数学的其他分支以及物理、力学中也常常会碰到。 %这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。
}%pause

\end{frame}

\begin{frame}{二次型的定义}
\pause
\setcounter{theorem}{-1}
  \begin{definition}设 $P$ 是一数域， 一个系数在数域 $P$ 中的关于文字%
    \footnote{和数域上的一元多项式一样，我们也可以把数域$P$上的二次型中的文字想做是在$P$中变动的变量。
通常文字具有更一般的意义（文字是任何合理的数学对象的抽象），对文字赋值后我们可以从文字时的结论导出变量时的结论。
（以后在抽象代数中学习环时可以通过环同态来理解。）}
    $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的二次齐次多项式
    \begin{equation}\tag{3}
      \begin{aligned}
      f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) 
      &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} \\
      \pause
      &= a_{11} x_{1}^{2}+a_{12} x_{1} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{1} x_{n} \\
      &\quad +a_{21} x_{2} x_{1}+a_{22} x_{2}^{2}+\cdots+a_{2 n} x_{2} x_{n} \\
      &\quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
      &\quad +a_{n 1} x_{n} x_{1}+a_{n 2} x_{n} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}^{2} \\
      \end{aligned}
\end{equation}
\pause
称为数域 $P$ 上的一个 \emph{$n$ 元二次型} (quadratic form)，或者，在不致引起混淆时简称二次型\footnote{这里的``型'' (form) 指齐次多项式。一次齐次多项式也称为线性型 (linear form)。}。
\end{definition}

\end{frame}

\begin{frame}

 既然二次型是多项式，按照多元多项式的约定，其中的文字$x_1, x_2, \cdots, x_n$可交换，即
 \[
   x_ix_j=x_jx_i.
 \]
 \pause
  另外，我们亦约定 $x_ix_j$ ($i\leqslant j$) 这些单项式是线性无关的。
  \pause
  换句话说，
  \[
    \sum_{i\leqslant j} b_{ij} x_i x_j = \sum_{i\leqslant j} c_{ij} x_i x_j
  \]
(其中$b_{ij}, c_{ij}\in P$是任意的)
  蕴含了$b_{ij}=c_{ij}$.

\pause
  \begin{example} 
    下面两个多项式是有理数域上 (当然也是实数域或复数域上) 的三元二次型：
    \[
      x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+3 x_{1} x_{3},
  \pause
  \quad
      x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+3  x_{3}x_{1}.
  \]
\pause
由于$x_ix_j=x_jx_i$, 这两个多项式相等，从而表示的是同一二次型。
\end{example}



\end{frame}


\begin{frame}{二次型的线性替换}
  \pause
  和几何中一样，我们常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。 为此，我们引入

\pause

\begin{definition}
设 $x_{1}, \cdots, x_{n} ; y_{1}, \cdots, y_{n}$ 是两组文字，系数在数域 $P$ 中的一组关系式
\begin{equation}\tag{4}
  \left\{\begin{array}{c}
        x_{1}=c_{11} y_{1}+c_{12} y_{2}+\cdots+c_{1 n} y_{n}, \\
        x_{2}=c_{21} y_{1}+c_{22} y_{2}+\cdots+c_{2 n} y_{n}, \\
        \cdots \cdots \cdots \cdots \\
        x_{n}=c_{n 1} y_{1}+c_{n 2} y_{2}+\cdots+c_{n n} y_{n}
        \end{array}\right.
\end{equation}
称为由 $x_{1}, \cdots, x_{n}$ 到 $y_{1}, \cdots, y_{n}$ 的一个\emph{线性替换}， 或简称线性替换 (linear substitution)。
\pause
如果系数行列式
        \[
          \left|\begin{array}{cccc}
            c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 n} \\
          c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 n} \\
        \vdots & \vdots & & \vdots \\
        c_{n 1} & c_{n 2} & \cdots & c_{n n}
      \end{array}\right| \neq 0,
  \]
  那么线性替换 (4) 就称为\emph{非退化}的 (nondegenerate)。
\end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}

如果把 (2) 看作线性替换，那么它就是非退化的，
\pause
因为
\[
  \left|\begin{array}{cc}
  \cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right|=1 \neq 0.
\]

~

\pause
不难看出，如果把 (4) 代入 (3), 那么得到的 $y_{1}, \cdots, y_{n}$ 的多项式仍然是二次齐次的。
换句话说，\emph{线性替换把二次型变成二次型}。 本章主要研究二次型在非退化的线性替换下的行为。
\end{frame}


\begin{frame}{二次型的矩阵}
\pause
  矩阵是讨论二次型的有力的工具， 因此我们先把二次型与线性替换用矩阵来表示。

\pause
给定二次型
\[\tag{5}
  f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a'_{ij} x_i x_j,
\]
\pause
令
\[
  A'=(a_{ij}')=\begin{pmatrix}
    a_{11}' & a_{12}' & \cdots & a_{1n}' \\
    a_{21}' & a_{22}' & \cdots & a_{2n}' \\
    \vdots & \vdots  & & \vdots \\
    a_{n1}' & a_{n2}' & \cdots & a_{nn}'
  \end{pmatrix}, \quad
  X=\begin{pmatrix}
  x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}
\end{pmatrix}.
\]
\pause
容易发现{\verify} $f$可写为
\[\tag{6}
  f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) = X^{\rT} A'X.
\]
\pause
由于形式上不同的表达式可以给出同一个二次型（源于$x_i, x_j$的交换性），上面的$A'$不唯一，
\pause
即可能对不同的$A', A''\in P^{n\times n}$有$X^{\rT}A'X=X^{\rT} A''X$. 
\pause
我们写具体的多项式时常见的习惯是只写$x_ix_j$时$i\leqslant j$这样的项。 
\pause
此时$A'$是上三角的，但上三角矩阵与二次型的理论不相容。
\end{frame}


\begin{frame}{}

\begin{question*}
  可否选取一个好的特别的与一个二次型对应的矩阵来研究二次型？ 
\end{question*}

\pause
容易发现，$n$元二次型$f$总可唯一地{\verify}写为
\[
  \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j,
\]
满足对任意的$i\neq j$有
\[
  a_{j i}=a_{i j}.
\]
\pause
实际上，对 (5) 中二次型，令 $a_{ii}=a_{ii}'$, 且$i\neq j$时
\[\tag{$*$}
  a_{ij}=\frac{a_{ij}'+a_{ji}'}{2}
\]
即可。显然$a_{ij}=a_{ji}$, 且有$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$.
\pause
令$A=(a_{ij})$, 那么
\[
\begin{gathered}
  A=\frac{A'+{A'}^{\rT}}{2},\\
  f(x_1,\cdots,x_n)=X^{\rT}AX.
\end{gathered}
\]
\pause
注意到：由$x_ix_j$ ($i\leqslant j$) 这些单项式的线性无关性可知 
$a_{j i}=a_{i j}$这个要求强迫了($*$)成立，这便是唯一性所在。
\end{frame}


\begin{frame}
用矩阵的形式来写就是：$n$元二次型$f$可唯一地写为$X^{\rT}AX$（其中$A$对称，即$A$满足$A=A^{\rT}$）这种形式，
\pause
且唯一性相当于说：若$X^{\rT} AX=X^{\rT} BX$, 其中$A, B$都是对称矩阵，那么
  $A=B$.
\pause
唯一性不多说，
我们不妨用矩阵的形式再解释一遍$A$如何获得。
\pause
  实际上，对二次型$f(x_1,\cdots,x_n)=X^{\rT} A' X$，
\pause
  取
\[
  A=\frac{A'+{A'}^{\rT}}{2}.
\]
\pause
显然$A$对称，且我们有
\[
  X^{\rT}A X 
  \pause
  = X^{\rT}\frac{A'+{A'}^{\rT}}{2} X 
  \pause
  = 
  \frac{1}{2}\left( X^{\rT} A'X + X^{\rT} {A'}^{\rT} X \right) 
  \pause
  = X^{\rT} A'X.
\]
\pause
这里注意$X^{\rT}A'X$作为$1$阶矩阵满足$X^{\rT}A'X=\left( X^{\rT}A'X \right)^{\rT} = X^{\rT} {A'}^{\rT} X$.

~

\pause
这里的$n$阶对称矩阵$A=(a_{ij})$称为 \emph{二次型 $f$ 的矩阵} (the matrix of the quadratic form)。 
也就是说，我们\emph{选取对称矩阵与二次型对应}。
\pause
而且，我们有数域$P$上的二次型与数域$P$上的对称矩阵之间的一一对应：
二次型对应于其矩阵；
\pause
反过来，对称矩阵$A$对应于二次型$X^{\rT}AX$.

~

\pause
有了这个对应后，二次型上的概念都可以搬到对称矩阵上，我们也可试着寻找相关的一些事实的矩阵的版本；反过来亦然。
\pause
例如，二次型的\emph{秩} (rank) 按定义就是其矩阵的秩。二次型$f$的秩记作$\rank f$. 第三节中我们会需要秩这个信息。
\pause
顺便提下，二次型、对称矩阵还与对称的双线性型一一对应。 
\end{frame}


\begin{frame}
 \begin{example}
    二次型$f(x_1, x_2, x_3)=2x_1^2 + 3x_2^2-x_3^2 + 2x_1x_2 -6x_2x_3$的矩阵为
    \[
      A=\begin{pmatrix}
        2 & 1 & 0 \\
        1 & 3 & -3 \\
        0  & -3 & -1
      \end{pmatrix}.
    \]
\pause
    $\rank A=3$表明$\rank f=3$.
  \end{example}

\pause
\begin{bonus*}
  \begin{enumerate}
    \item 可以保证唯一性。只有唯一的对称矩阵与一个二次型对应。
      \pause
    \item 对称性在线性替换后保持不变，或者说，对称矩阵构成的集合对合同变换封闭。
      \pause
      （比如二次型也可一一对应于上三角矩阵，但上三角矩阵的集合对合同变换不封闭）
      \pause
    \item 实对称矩阵有谱理论，幻灯片的第九章附录中有应用谱理论来讨论实二次型。
    \end{enumerate}
  \end{bonus*}

\pause
以后我们写抽象的二次型
\[
f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij} x_ix_j\quad
\text{或}
\quad
  f(x_1,\cdots,x_n)=X^{\rT} AX
\]
时总假定$a_{ij}=a_{ji}$或$A=A^{\rT}$（即使我们没有显式地写出来）。

\end{frame}

\begin{frame}{线性替换下的二次型的矩阵}
  \pause
  令
  \[
     C=(c_{ij})\in P^{n\times n}, \quad  Y=(y_1, \cdots, y_n)^{\rT}.
  \]
\pause
于是线性替换 (4) 可以写成
\[
  \left(\begin{array}{c}
    x_{1} \\
  x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
  c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 n} \\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_{n 1} & c_{n 2} & \cdots & c_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
  y_{1} \\
y_{2} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{array}\right),
\]
\pause
即
\[
X=C Y .
\]

~

\pause
我们知道，经过一个非退化的线性替换， 二次型还是变成二次型。 
\pause
现在就来看一下，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，也就是说，找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。

\end{frame}

\begin{frame}
设二次型
\[\tag{7}
  f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)= X^{\rT}  A  X \quad (\text{其中~} A= A^{\rT})
\]
在作非退化线性替换
\begin{equation}\tag{8}
 X= C  Y
\end{equation}
后被化成了一个关于 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ 的二次型
\[
   Y^{\rT}  B  Y.
\]
\pause
把 (8) 代入 (7) 我们可得
\[\tag{9}
\begin{aligned}
\uncover<+->{%pause
 X^{\rT}  A  X
  &= ( C  Y)^{\rT}  A( C  Y)= Y^{\rT}  C^{\rT}  A  C  Y
  =  Y^{\rT}\left( C^{\rT}  A  C\right)  Y.
}%pause
\end{aligned}
\]
\pause
又
\[
   X^{\rT}  A  X  
 \xlongequal{X=CY}
   Y^{\rT}  B  Y,
\]
\pause
因而
\[
 Y^{\rT}  B  Y = 
 Y^{\rT}\left( C^{\rT}  A  C\right)  Y.
\]
\pause
容易看出，矩阵 $C^{\rT} A C$ 也是对称的{\verify}。由二次型的矩阵的唯一性可知
\[
  B=C^{\rT} A C.
\]
\pause
这就是前后两个二次型的矩阵的关系。与之相应， 我们引入
\end{frame}

\begin{frame}{合同关系与合同变换}
  \pause
  \begin{definition}
    $ A,  B\in P^{n\times n}$ 称为\emph{合同}的 (congruent)（记为$A\approx B$），如果有$ C\in \GL_n(P)$, 使
    \[
        B=C^{\rT} A C.
    \]
    \pause
    对$C\in \GL_n(P)$, 映射
    \[
      \Cong_C\colon P^{n\times n}\rightarrow P^{n\times n},  A\mapsto  C^{\rT}  A C
    \]
    称为\emph{合同变换}。
\end{definition}
\pause
  合同是矩阵之间的一个等价关系：

\begin{enumerate}
  \item 自反性（$A\approx A$）：
\pause
    $A=E^{\rT} A E$;
    \pause
      \item 对称性（若$A\approx B$则$B\approx A$）： 
\pause
        由 $ B= C^{\rT}  A C$ 即得 $ A=\left( C^{-1}\right)^{\rT}  B  C^{-1}$;
        \pause
      \item 传递性（若$A\approx A_1$且 $A_1\approx A_2$则$A\approx A_2$）： 
\pause
        由 $ A_{1}= C_{1}^{\rT}  A  C_{1}$ 和 $ A_{2}= C_{2}^{\rT}  A_{1}  C_{2}$ 即得
\pause
    \[
     A_{2}=\left( C_{1}  C_{2}\right)^{\rT}  A\left( C_{1}  C_{2}\right).
\]
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
  因此，经过非退化线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。
  \pause
  反过来，若二次型$X^{\rT}AX$的对称矩阵$A$与对称矩阵$B$合同，比如$B=C^{\rT}AC$（其中$C$可逆）, 
  \pause
  那么由(9)式的推导可知，在非退化的线性替换$X=CY$下，二次型$X^{\rT}AX$就被化成了二次型$Y^{\rT}BY$. 
  \pause
  也就是说，在二次型与对称矩阵的对应关系中，二次型上的非退化的线性替换这个操作对应于对称矩阵上的合同变换这个操作，
\pause
  如下图所示：
  \[
    \begin{tikzcd}[ampersand replacement=\&]
      X^{\rT}AX \ar[r,leftrightarrow] \ar[d, equal, blue, "X=CY"' blue] \& A\phantom{.} \ar[d,blue, "\Cong_C" blue] \\
    Y^{\rT}BY \ar[r,leftrightarrow] \& B.
  \end{tikzcd}
\]
\pause
  这样，我们就把二次型及其变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。

~

  容易发现非退化的线性替换的复合还是非退化的线性替换（因为可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵），
\pause
或者说，连续做两次非退化的线性替换的结果还是非退化的线性替换（这样我们可以做很多次）。
\pause
既然非退化的线性替换在二次型的矩阵上的反映是对二次型的矩阵做合同变换，容易相信合同变换的复合还是合同变换。 
\pause
实际上，
\[
  \Cong_C\circ \Cong_D=\Cong_{DC}.
\]
\pause
  诚然，对任意的方阵$A$有
  \begin{align*}
    \Cong_C\circ \Cong_D(A)&= \Cong_C(\Cong_D(A))
    = C^{\rT}(D^{\rT}AD)C
    = (DC)^{\rT} A (DC)
    = \Cong_{DC}(A).
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{关于非退化的假定}
  \pause
在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的。 
\pause
  从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的。
  \pause
一般地，当线性替换
\[
X=C Y
\]
是非退化时，由上面的关系即得
\[
 Y= C^{-1}  X .
\]
\pause
这也是一个线性替换， 它把所得的二次型还原。 
我们将看到，做非退化的线性替换时，所得二次型和原二次型有共同的我们关心的性质。
例如，所得二次型和原二次型有相同的秩。诚然，
原二次型、新二次型的矩阵分别为$A, C^{\rT}AC$.
由于可逆矩阵左乘、右乘都不改变矩阵的秩，$\rank A=\rank C^{\rT}AC$.

~

\pause
另一方面，我们可做任意的 (不必非退化的) 线性替换，有时我们也可从
所得二次型的信息获得原来二次型的一些信息，参见附录~\ref{00B}.
而且，引理~\ref{123}~表明
只要(不必非退化的) 线性替换不改变秩，那么可用另一个非退化线性替换得到相同的结果。
用矩阵的语言讲就是：若 (不必可逆的) 方阵给出的合同变换不改变秩，
那么可用另一个可逆矩阵合同变换得到相同的结果。
\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何为二次型？何为对称矩阵？二次型与对称矩阵如何一一对应？
    \item 不同的方阵可以对应同一个二次型 ($A\mapsto X^{\rT}AX$). 我们为何考虑对称矩阵与二次型的对应？
    \item 为何考虑二次型的非退化的线性替换？
    \item 何为矩阵的合同？二次型的非退化的线性替换如何导出合同的概念？
  \end{enumerate}
\end{frame}
